Optimal construction of MPO
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Optimal construction of MPO
Optimal construction of MPO
用户4590用户45903月27日修改
内容来源：
背景
将量子力学的算符分为两大类：
1.
具有解析形式的算符，如动能算符，常常有如下的乘积求和形式（Sum of Product, SoP）:
对于实际的算符来说，系数矩阵
常常是非常稀疏的。这种算符原则上可以不唯一地精确表示成MPO
2.
不能简单地表示成SoP的算符，例如时间演化算符。可以用MPO近似表示
我们需要的MPO应当有以下优点：
1.
对于具有乘积求和形式的哈密顿量是通用的。
2.
它给出一个最佳的键维度最小的 MPO。
3.
它是符号表示的(解析的),没有任何数值误差。
方法
说明具有乘积求和形式的算符总能表示成MPO：
如果一个算符具有SoP的形式，那么可以构建符号化的MPO：
第二式的
是高维张量
的矩阵乘积表示；第三式的
局部格点
上附带系数的算符组成的矩阵。
和
用于物理键/虚拟键的标记。
如果提取所有具有非0系数的项，算符
可以表示为：
是非零项的总数，
是项的总数，
是
格点的第
项的局部算符。
任何两个MPO的全局算数加法是
这是一种将局部矩阵以块对角的方式合并。
系统地推导MPO的方法：
当系统在格点
和格点
被左右分为两部分的时候：
往前推一步：
令
,则可以用此递推关系直接得到MPO。系数乘在任意一个格点就可以了。
同一算符的 MPO 表示非唯一性--互补算符的构建 :
举例子：如果
,
,而
,
那么
和
可以形成一个互补算符
,
同时
在右块上被移除，这样
,这样
就直接少了一项。
因此这种多余的算符可以构建左（右）互补算符，使得MPO键维度减小。
再举一个例子：
定义互补算符：
最终
的列数
会变成2。可以看出互补算符的构建是不平凡的，互补算符的不同设计导致不同的
基于二分图图论的构建矩阵乘积算符的通用最优算法
思路：相邻两个格点间构造互补算符的问题抽象为二分图中的最小顶点覆盖问题,然后证明得到的局部最优 MPO 也是全局最优 MPO。
左图将算符表示为二分图，三元组
的例子，
顶点表示左右区块的非冗余子算符,边表示为算符之间的非零相互作用。
蓝色的顶点形成了一个此图的最小顶点覆盖
（也就是说，蓝色的顶点可以与所有的边连接），
红色的边形成了一个此图的最大匹配。
在三元组
中，如果 U 中的第 p 个顶点被选中,那么算符
以常规形式保留，所有V中与
相连的顶点
构成互补算符
,V 中顶点被选中的情况同理.
在第 i 和 i + 1 个格点间能描述所有 K 项相互作用项的最小保留算符数等于 (U , V ) 中能与 E 中所有边相连的最小顶点数（图 4.1中蓝色顶点）。后者的问题在图论中被称为最小顶点覆盖问题。
König 定理证明,对于这里描述的一个二分图,最小顶点覆盖的顶点数等于最大匹配的边数。