Bond Dimension Expansion

用户4590

3月23日修改

第一部分：Single-set 的思路与流程

1.1 为什么需要 bond dimension 扩展？

1.2 两个函数的层次关系

1.3`expand_bond_dimension`：为局域态构造种子

1.4`expand_bond_dimension_general`：核心算法

Step 1：计算目标扩展量

代码块

mps.compress_config.set_bonddim(len(mps.bond_dims))​
m_target = minimum(compress_config.max_dims - mps.bond_dims, mps.bond_dims_exact)​

•
compress_config.max_dims：目标最大 bond_dim（如 [64, 64, ..., 64]）​

•
mps.bond_dims：当前 bond_dim（如 [1, 1, ..., 1]）​

•
mps.bond_dims_exact：当前态的精确维度上限（由希尔伯特空间大小决定）​

- `m_target`：expander 需要提供的额外维度数，即需要"补充多少维"​

Step 2A：随机扩展模式（`hint_mpo=None`）

Step 2B：Krylov 扩展模式（`hint_mpo` 给定）

Step 3：最终合并与压缩

第二部分：Multiset 键维度扩展的物理思路

2.1 Multiset MPS 的结构与 Hamiltonian

Multiset MPS 的波函数 ansatz（Kloss et al., PRL 2019）：

其中

是电子态，

是对应的振动 MPS。

全 Hamiltonian 分解为矩阵形式：

：对角块，描述电子态 α 上的局域振动（声子能量 + 电声耦合）​
：非对角块，描述电子跳跃 
（在 Holstein 模型中就是跳跃积分 -J）​

运动方程（TDVP 投影后）：

bond dimension 扩展需要针对每个 |Ψ^α⟩ 独立进行，

但扩展方向必须预期该 set 在演化中实际需要探索的方向。

2.2 Franck-Condon 初态的特殊性

FC 激发（光激发后立刻到达的初态）：

（center态：振动真空，norm ≈ 1）

（非center态：几乎为零，norm ≈ 0)

这是一种极度不对称的初态：center 态充分占据，其余态几乎为零。​

这种不对称对扩展方式的选择有决定性影响。

2.3 为什么

（对角块）

Krylov 迭代算子必须满足：它能生成该 set 在时间演化中需要的 bond 结构变化。​

对于

的演化，局域声子动力学由

主导。

时间演化算符展开：

故迭代算子应选 
，生成的 Krylov 子空间正是 
 的局域声子演化所需空间。​

为什么不能用

做迭代算子？

 是一个跨空间算子：它把 β 振动空间的态映射到 α 振动空间。​

反复作用 
 于 
，并不能描述 α 的内部振动结构如何随时间变化，​

在数学上也不产生有意义的 Krylov 空间（算子作用的定义域和值域对不上）。​

2.4 为什么

（非对角耦合项）

回到代码的关键注释 "in case of localized self"（mps.py:1992）：

代码块

if ex_mps is None:​
    lastone = mps​
else:​
    lastone = mps + ex_mps  # 合并后作为 Krylov 种子 v₀​

Bond Dimension Expansion​